LEY DE LOS SENOS

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Ley de los senos primero demos un repaso muy breve de que es el seno. Pues el seno (sine énfasis en «y») es un hermano del coseno, es una terminología matemática en un triángulo rectángulo, la razón del lado opuesto a la hipotenusa de cualquier ángulo agudo ∠A se llama el seno de ∠A, que se registra como sinA, es decir, sinA = ∠ Opuesto / hipotenusa de A.

función trigonométrica seno

El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo toma valores de 0 a 1, y en el círculo unitario de (-1) a 1. El argumento del seno en un triángulo rectángulo toma valores de 0 a (π / 2), y en el caso del círculo unitario, puede ser cualquier número racional, incluido el negativo.

Ley de los senos

Para resolver triángulos rectángulos usamos funciones trigonométricas. Pero sin embargo… ¿Qué pasa cuando el triángulo no tiene un ángulo recto? Al resolver triángulos oblicuos, no puede usar las fórmulas definidas para triángulos rectángulos y debe usar otras nuevas. Para esta sección, veremos con ejemplos la ley de los senos para ver cómo se puede utilizar para resolver triángulos oblicuos.

Definición de la ley de los senos

Si A, B y C son las medidas de los ángulos de un triángulo oblicuo, a, b y c son las longitudes de los lados opuestos de los ángulos correspondientes, entonces las relaciones de la longitud de un lado al seno del ángulo opuesto al lado deben ser todas lo mismo.

ley de los senos

Aplicación de la ley de los senos:

La ley de los senos se puede utilizar para resolver las longitudes faltantes o las medidas de los ángulos en una triángulo oblicuo siempre que se conozcan dos de los ángulos y uno de los lados. Hay dos casos que puede existir para esta situación.

El lado conocido podría ser el lado entre los dos ángulos conocidos (Angle-Side-Angle, ASA)(Ángulo-Lado-Ángulo) o podría ser uno de los otros dos lados (Side-Angle-Angle, SAA)(Lado-Ángulo-Ángulo). Veamos ahora un par de ejemplos de estas dos situaciones y cómo se usa la Ley de los senos para resolución de estos triángulos.

Ejemplo #1

Resuelve el triángulo dado usando la Ley de los senos. Redondea longitudes a la décima más cercana y medidas de ángulos al grado más cercano.

ejemplo1 ley de los senos

Tenemos que A = 70°, B = 55°, y a = 12

1)-Encontraremos el ángulo C.
La suma de los ángulos de un triángulo debe ser igual a 180 °, por lo que C sería la diferencia
entre 180 ° y la suma de los otros dos ángulos.

A + B + C = 180°
70° + 55° + C = 180°
C = 180° – 125°
C = 55°

2)-Ahora encontraremos el lado b.
Dado que se nos da el ángulo A y el lado a, los usaremos en nuestra configuración de relación para encontrar el lado
b de la siguiente forma.

ecuación para hallar el lado b del ejemplo1

3)-Por último encontraremos el lado c.
A pesar de que acabamos de encontrar el lado b, todavía querrá usar la medida que fue dado a nosotros en el problema. La longitud del lado b es un valor aproximado y no producir una respuesta tan buena como los valores conocidos para el lado a y el ángulo A.

ecuación para hallar el lado c del ejemplo1

Ejemplo #2

Resuelve el triángulo dado usando la ley de los senos. Redondea longitudes a la décima más cercana y medidas de ángulos al grado más cercano.

Tenemos que A = 35°, B = 25°, y c = 68

1)-Encontrar el ángulo C.

A + B + C = 180°
35° + 25° + C = 180°
C = 180° – 60°
C = 120°

2)-Encontrando el lado b.
Como conocemos las medidas exactas para el lado c y el ángulo C, las usaremos en nuestra configuración de proporción para encontrar el lado b.

ecuación para hallar el lado b del ejemplo2

3)-Por último encontraremos el lado a.

ecuación para hallar el lado a del ejemplo2

En los dos casos de anteriores del ASA y SAA, la Ley de los senos se puede utilizar para resolver los triángulos sin ningún problema. Sin embargo, hay un tercer caso en el que la Ley de los senos podría utilizado dependiendo de la altura del triángulo.

Este último caso se llama Caso Ambiguo porque en algunas situaciones no es posible usar la Ley de los senos para resolver el triángulo o puede obtener más de una respuesta. Este caso es donde se conocen dos de las longitudes de los lados y se conoce una de las medidas del ángulo, pero no el ángulo formado por los dos lados (Side-Side-Angle, SSA).

Posibles situaciones de SSA (h = b sin A)

ejemplo 3 de la ley de los senos parte 1

Según los triángulos de la imagen tenemos a > b y a > h | a = h

ejemplo 3 de la ley de los senos parte 2

Segun la segunda imagen tenemos a < b y a < h | a < b pero a > h

Ejemplo #3

Determine si las medidas dadas producen un triángulo, dos triángulos o sin triángulo. Si se forma un triángulo, resuelva el triángulo (o triángulos) redondeando el lados al décimo más cercano y los ángulos al grado más cercano.

b = 100 m, a = 60 m, y ∠A = 28°

1)-Encuentra la altura (h) del triángulo:

h = b sin A
h = 100 sin 28°
h ≈ 46.9 m

2)-Identifique el caso que se aplica (1 triángulo, 2 triángulos o ningún triángulo). Compare los lados a y b: 60 m <100 m, compare el lado a y h: 60 m> 46,9 m

Dado que el lado a es mayor que la altura pero menor que el lado b, habrá 2 posibles triángulos formados como vemos en la siguiente imagen.

respuesta del ejemplo 3 de la ley de los senos

3)-Encontrar ángulos B1 y B2:

respuesta del ejemplo 3 de la ley de los senos parte 2

Sabiendo que la suma de B1 y B2 debe ser 180 ° ya que formarían una línea recta, tenemos que:

B2 ≈ 180 ° – 51 °
B2 ≈ 129 °

Los dos triángulos serían como se muestran en la siguiente imagen:

respuesta del ejemplo 3 de la ley de los senos parte 3

4)-Encontrando los ángulos faltantes C1 y C2:

Restando la suma de otros dos ángulos de 180 ° obtenemos lo siguiente:

C1 = 180 ° – A – B1
C1 ≈ 180 ° – 28 ° – 51 °
C1 ≈ 101 °
C2 = 180 ° – A – B2
C2 ≈ 180 ° – 28 ° – 129 °
C2 ≈ 23 °

5)-Y por último encontraremos los dos lados faltantes c1 y c2:

los dos lados faltantes c1 y c2 del ejemplo 3 de la ley de los senos

Las soluciones son: ∠B1 ≈ 51 °, ∠C1 ≈ 101 °, c1 ≈ 125.5 my ∠B2 ≈ 129 °, ∠C2 ≈ 23 °, c2 ≈ 49.9 m.