LEY CONMUTATIVA DE LAS MATEMÁTICAS

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La ley conmutativa es un término matemático de uso común , lo que significa que puede cambiar el orden de algo sin cambiar su resultado final. La ley conmutativa es una propiedad básica en la mayoría de las ramas de las matemáticas, y muchas pruebas matemáticas deben basarse en la ley conmutativa. Se asumió que la ley conmutativa de las operaciones simples existía durante mucho tiempo, y no se dio un nombre específico hasta el siglo XIX, cuando los matemáticos comenzaron a formalizar las teorías matemáticas.

LEY CONMUTATIVA DE LAS MATEMÁTICAS

Uso general de la ley conmutativa

La ley conmutativa es una propiedad relacionada con las operaciones y funciones binarias . Si la ley conmutativa es válida para un par de elementos bajo una operación binaria particular, entonces estos dos elementos se dice que son «conmutativos» bajo esta operación.

En teoría de grupos y teoría de conjuntos , se dice que muchas estructuras algebraicas son conmutativas, si los operandos en ellas satisfacen la ley conmutativa. En el análisis matemático y el álgebra lineal , las leyes conmutativas de algunas operaciones bien conocidas (como la suma y la multiplicación de números reales y complejos ) se utilizan a menudo (o se supone que existen) en las demostraciones.

Definición matemática

El término «intercambiable» se utiliza en los siguientes conceptos relacionados :

1.  Una operación binaria  * en el conjunto  S se llama «conmutativa» si:x  ∗  y  =  y  ∗  x  ∀  x, y  ∈  S

  • Una operación que no satisface las propiedades anteriores se denomina «no conmutativa».

2. Si decimos que  X  e Y son  «conmutable» bajo *  , que significa:x  ∗  y  =  y  ∗  x

3. Una función binaria  f: A × A  →  B se llama «conmutativa», si:F ( X , Y ) = F ( Y , X ) ∀  X , Y  ∈  A .

Historial

La primera aplicación conocida del término fue en una revista francesa en 1814. La aplicación del supuesto de la ley conmutativa se recuerda hace mucho tiempo. Los egipcios utilizaron la ley conmutativa de la multiplicación para simplificar el cálculo de productos . Y sabemos que Euclides ya ha asumido la existencia de la ley conmutativa de la multiplicación en los » Elementos de Geometría «.

La aplicación formal de la ley conmutativa se produjo a finales del siglo XVIII y principios del XIX, cuando los matemáticos comenzaron a estudiar la teoría de funciones. Hoy en día, la ley conmutativa es ampliamente reconocida y utilizada como propiedad básica en la mayoría de las ramas de las matemáticas. Por lo general, se enseña una versión simplificada de la ley conmutativa en los tutoriales de matemáticas elementales.

El primero en utilizar el término «conmutativa» fue una nota escrita por Francois Servois en 1814. Este término se utilizó en las notas para referirse a funciones que ahora se denominan conmutativas. La palabra apareció por primera vez en inglés en las Philosophical Transactions of the Royal Society en 1844 .

Asociatividad

El derecho asociativo y el derecho conmutativo están estrechamente relacionados. La ley asociativa significa que el orden de las operaciones no afecta el resultado final. Por el contrario, la ley conmutativa significa que el orden de los operadores no afecta la naturaleza del resultado final.

Simetría

La simetría se puede relacionar directamente con la ley conmutativa. Si un operador conmutativo se escribe como una función binaria, entonces esta función será   simétrica a la línea y = x . Por ejemplo, si se  usa una función  f para representar la suma (una operación conmutativa), entonces  f ( x , y ) =  x  +  y  , y por lo tanto  f  será una función simétrica como se ve en la figura de la derecha.

Ejemplos

Operaciones conmutativas en la vida diaria

  • Lavar un par de zapatos se puede comparar con una operación conmutativa, porque no importa si el zapato izquierdo se lava primero o el derecho se lava primero, el resultado final (ambos zapatos se lavan) es el mismo.
  • El modismo «Curso Tres y Cuatro» también puede verse como un ejemplo de operaciones conmutativas.

Operaciones conmutativas en matemáticas

Un ejemplo que muestra la ley conmutativa de la multiplicación (3 * 5 = 5 * 3)

Dos ejemplos bien conocidos de operaciones binarias conmutativas son:

  • Número real de sumador

y + z = z + y \ quad \ forall y, z \ in \ mathbb {R}Por ejemplo,  4 + 5 + 4 = 5  , dos expresiones son iguales a 9.

  • Número real de multiplicaciones

yz = zy \ quad \ forall y, z \ in \ mathbb {R}Por ejemplo,  3 × 5 = 5 × 3  , y ambos son iguales a 15.

  • Más ejemplos incluyen la multiplicación compleja de operación binaria conmutativa , la suma de vectores y establecer la intersección y la unión .

Operaciones no conmutativas en la vida diaria

La concatenación (el acto de concatenar palabras juntas) es una operación no conmutativa.

  • Lavar y secar la ropa se puede comparar con las operaciones no conmutativas, porque secar la ropa y luego lavar y lavar y secar la ropa dará resultados muy diferentes.
  • Los cubos mágicos no son intercambiables. Por ejemplo, girar la cara frontal en el sentido de las agujas del reloj, la cara superior en el sentido de las agujas del reloj y luego girar la cara frontal en el sentido contrario a las agujas del reloj (FUF ‘) no le dará el resultado de girar la cara frontal en el sentido de las agujas del reloj, luego girar la cara frontal en el sentido contrario a las agujas del reloj y finalmente girar la parte superior El giro de la manecilla de la hora (F’U) tiene el mismo resultado. El giro no es intercambiable. Estos giros se estudian en la teoría de grupos .

Operaciones no conmutativas en matemáticas

Algunas operaciones binarias no conmutativas son:

  • Resta :  0-1 \ neq 1-0 Pero puedes convertir su signo de resta en un número negativo, puedes usar la ley conmutativa.
  • División :  1 \ div2 \ neq 2 \ div1 puede convertir la división en fracciones de multiplicación para usar la ley conmutativa.
  • Multiplicación de matrices :