Para el último teorema de Fermat tenemos que, enteros n mayores que 2; la ecuación de x n + y n = z n no tiene soluciones naturales distintas de cero.
Probablemente recuerde de la época escolar el teorema de Pitágoras en el que tenemos que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. También puede recordar el clásico triángulo rectángulo con lados, cuyas longitudes están en la proporción 3: 4: 5. Para él, el teorema de Pitágoras se ve así: 3 2 + 4 2 = 5 2 . Este es un ejemplo de resolución de la ecuación pitagórica generalizada en números enteros distintos de cero para n = 2.
El último teorema de Fermat (también llamado «El gran teorema de Fermat» y «El último teorema de Fermat»); consiste en el enunciado de que para valores n > 2 ecuaciones del forma x n + y n = z n no tienen soluciones distintas de cero en números naturales. La historia del último teorema de Fermat es muy entretenida e instructiva, y no solo para los matemáticos. Pierre de Fermat contribuyó al desarrollo de varias áreas de las matemáticas, pero la mayor parte de su legado científico se publicó sólo póstumamente. El hecho es que las matemáticas para Fermat eran una especie de hobby y no una ocupación profesional.
Mantuvo correspondencia con los principales matemáticos de su tiempo, pero no buscó publicar su trabajo. Las obras académicas de Fermat se encuentran principalmente en forma de correspondencia privada y notas breves, a menudo escritas en los márgenes de varios libros. Fue en los márgenes (del segundo volumen de la antigua «Aritmética» de Diofanto. Poco después de la muerte del matemático, los descendientes encontraron la formulación del famoso teorema y la posdata:
» He encontrado una prueba verdaderamente maravillosa de esto, pero estos márgenes son demasiado estrechos para él «.
Pierre de Fermat
La búsqueda de la solución durante más de 300 años del último teorema de Fermat
Por desgracia, al parecer, Fermat nunca se molestó en escribir la «prueba milagrosa» que encontró; y sus descendientes la buscaron sin éxito durante más de tres siglos. De todo el legado científico disperso de Fermat, que contiene muchas declaraciones asombrosas, fue el Gran Teorema el que desafió obstinadamente la solución. Quien no haya realizado la prueba del último teorema de Fermat, ¡todo es en vano! Otro gran matemático francés, René Descartes (1596-1650), llamó a Fermat un «fanfarrón», y el matemático inglés John Wallis (1616-1703) lo llamó «maldito francés». El propio Fermat, sin embargo, todavía dejó una prueba de su teorema para el caso n = 4.
El gran matemático suizo-ruso del siglo XVIII Leonard Euler (1707-1783) hizo frente a la demostración de n = 3, después de lo cual; no pudo para encontrar pruebas de n > 4, sugirió en broma registrar la casa de Fermat para encontrar la clave de la evidencia perdida. En el siglo XIX, los nuevos métodos de la teoría de números hicieron posible probar el enunciado para muchos enteros dentro de 200; sin embargo, nuevamente, no para todos.
En 1908, se estableció un premio de 100.000 marcos alemanes para esta tarea. El fondo del premio fue legado al industrial alemán Paul Wolfskehl, quien, según la leyenda; estaba a punto de suicidarse, pero se dejó llevar tanto por el último teorema de Fermat que cambió de opinión acerca de la muerte. Con el advenimiento de las máquinas de sumar, y luego las computadoras; la barra para los valores de n comenzó a subir cada vez más, a 617 al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, a 4001 en 1954, a 125,000 en 1976.
A finales del siglo XX, las computadoras más potentes de los laboratorios militares de Los Álamos (Nuevo México, EE. UU.) Fueron programadas para resolver el problema de Fermat en segundo plano (por analogía con el salvapantallas de una computadora personal). Por lo tanto, fue posible demostrar que el teorema es cierto para valores increíblemente grandes de x, y, zy n; pero esto no podría servir como una prueba rigurosa; ya que cualquier valor posterior de n o triples de números naturales podría refutar el teorema en su totalidad.
Finalmente, en 1994, el matemático inglés Andrew John Wiles (nacido en 1953), mientras trabajaba en Princeton; publicó una prueba del último teorema de Fermat, que, después de algunos refinamientos, resultó ser exhaustiva. La prueba tomó más de cien páginas de revista y se basó en el uso del aparato moderno de matemáticas superiores; que no se desarrolló en la era de Fermat. Entonces, ¿qué quiso decir Fermat cuando dejó un mensaje en el margen del libro de que había encontrado pruebas?
La mayoría de los matemáticos con los que hablé sobre este tema señalaron que a lo largo de los siglos se han acumulado más que suficientes pruebas incorrectas del último teorema de Fermat, y que, muy probablemente, el propio Fermat encontró tal prueba, pero no vio un error en ella. Sin embargo, es posible que que después de todo hay alguna prueba corta y elegante del último teorema de Fermat, que nadie ha encontrado todavía. Solo se puede decir una cosa con certeza: hoy sabemos con certeza que el teorema es verdadero. La mayoría de los matemáticos, creo, estarán de acuerdo incondicionalmente con Andrew Wiles, quien comentó sobre su demostración: «Ahora por fin mi mente está en calma».
