La paradoja de Zenón planea que el movimiento es imposible. En particular, no es posible cruzar una habitación, ya que esto requiere cruzar primero la mitad de la habitación; luego la mitad del camino restante, luego la mitad de lo que queda, luego la mitad del resto.
Zenón de Elea pertenecía a la escuela filosófica griega; que enseñaba que cualquier cambio en el mundo es ilusorio, y el ser es uno e invariable. Su paradoja formulada en forma de cuatro aporías (del griego aporía «desesperanza»); que ha dado lugar desde entonces a unas cuarenta variantes diferentes muestra que el movimiento, modelo de cambio «visible», es lógicamente imposible. La mayoría de los lectores modernos están familiarizados con la paradoja de Zenón precisamente en la formulación anterior la cual se le llama dicotomía, de la dicotomía griega «dividir en dos». Para cruzar una habitación, primero debe viajar hasta la mitad.
Pero luego tienes que superar la mitad de lo que queda, luego la mitad de lo que queda después de eso, y así sucesivamente. Esta división por la mitad continuará indefinidamente, de lo que se concluye que nunca podrás cruzar la habitación. El antiguo héroe griego Aquiles está a punto de competir con una tortuga. Si la tortuga comienza un poco antes que Aquiles, para alcanzarla, primero debe correr al lugar de su inicio. Pero para cuando llega allí, la tortuga se ha arrastrado una distancia que Aquiles deberá superar antes de alcanzar a la tortuga. Pero durante este tiempo, la tortuga se arrastrará hacia adelante un poco más de distancia. Y dado que el número de tales segmentos es infinito, el Aquiles de pies rápidos nunca alcanzará a la tortuga.
Si algo se mueve, entonces se mueve en el lugar que ocupa o en el lugar donde no está. Sin embargo, no puede moverse en el lugar que ocupa (ya que en todo momento ocupa todo ese lugar); pero tampoco puede moverse en el lugar donde no existe. Por tanto, el movimiento es imposible.
Zenón
Esta paradoja se llama flecha (en cada momento del tiempo una flecha voladora ocupa un lugar igual a ella en longitud, por lo tanto no se mueve). Finalmente, hay una cuarta aporía, en la que estamos hablando de dos personas de igual longitud; que se mueven en paralelo con igual velocidad en direcciones opuestas. Zeno afirma que el tiempo que tardan las columnas en pasar entre sí es la mitad del tiempo que tarda una persona en pasar por toda la columna. De estas cuatro aporías, las tres primeras son las más conocidas y paradójicas. El cuarto se debe simplemente a una mala comprensión de la naturaleza del movimiento relativo.
La forma más cruda y poco elegante de refutar la paradoja de Zeno es levantarse y cruzar la habitación; alcanzar una tortuga o disparar una flecha. Pero esto no afectará el curso de su razonamiento de ninguna manera. Hasta el siglo XVII, los pensadores no pudieron encontrar la clave para refutar su ingeniosa lógica. El problema se resolvió sólo después de que Isaac Newton y Gottfried Leibniz presentaran la idea de cálculo diferencial; que opera con el concepto de límite ; después de que se aclarara la diferencia entre particionar el espacio y particionar el tiempo; finalmente, después de haber aprendido a manejar cantidades infinitas e infinitamente pequeñas.
Tomemos el ejemplo de cruzar una habitación. De hecho, en cada punto del camino tienes que recorrer la mitad del camino restante, pero solo para esto necesitarás la mitad del tiempo. Cuanto menos camino queda por recorrer, menos tiempo llevará. Por lo tanto, al calcular el tiempo que se tarda en atravesar una habitación, sumamos un número infinito de intervalos infinitesimales. Sin embargo, la suma de todos estos intervalos no es infinita (de lo contrario sería imposible cruzar la habitación), pero es equivalente a un determinado número finito; y por lo tanto puede cruzar la habitación en un tiempo finito.
Este curso de demostración es análogo a encontrar el límite en el cálculo diferencial. Intentemos explicar la idea de un límite en términos de la paradoja de Zenón. Si dividimos la distancia que hemos recorrido, atravesando la habitación, por el tiempo que pasamos en ella, obtenemos la velocidad media de paso de este intervalo. Pero aunque tanto la distancia como el tiempo disminuyen (y en última instancia tienden a cero), su relación puede ser finita; de hecho, esta es la velocidad de su movimiento. Cuando tanto la distancia como el tiempo tienden a cero, esta relación se denomina límite de velocidad. En su paradoja, Zenón asume erróneamente que cuando la distancia tiende a cero, el tiempo sigue siendo el mismo.
