El teorema de incompletitud de Gödel en cualquier sistema de axiomas matemáticos que parta de un cierto nivel de complejidad es internamente contradictorio o incompleto.
En la celebración de París en la Conferencia Mundial de Matemáticos de 1900, en la que David Hilbert (1862-1943) expuso en forma de tesis los 23 problemas más importantes; en su opinión, que debían resolver los científicos teóricos del próximo siglo XX siglo. El número dos en su lista era uno de esos problemas simples, cuya respuesta parece obvia hasta que profundizas un poco más. En términos modernos, esta era la pregunta ¿son las matemáticas autosuficientes? El segundo problema de Hilbert se redujo a la necesidad de demostrar rigurosamente que el sistema de axiomas enunciados básicos; tomados en matemáticas como base sin prueba, perfecto y completo, es decir, te permite describir matemáticamente todo lo que existe.
Era necesario demostrar que es posible establecer tal sistema de axiomas, que serán, en primer lugar, mutuamente consistentes y; en segundo lugar, de ellos es posible deducir una conclusión sobre la verdad o falsedad de cualquier enunciado. Tomemos un ejemplo de geometría escolar. En la planimetría euclidiana estándar (geometría en un plano), se puede demostrar incondicionalmente que el enunciado «la suma de los ángulos de un triángulo es 180 ° «es verdadero»; y el enunciado la suma de los ángulos de un triángulo es 137 ° «es falso». Esencialmente hablando, en la geometría euclidiana cualquier enunciado es falso o verdadero, y el tercero no se da. Y a principios del siglo XX, los matemáticos creían ingenuamente que la misma situación debería observarse en cualquier sistema lógicamente consistente.
En 1931, un matemático vienés, Kurt Gödel, tomó y publicó un breve artículo que simplemente volcó todo el mundo de la llamada «lógica matemática». Después de largos y complejos preámbulos matemático-teóricos, estableció literalmente lo siguiente. Tomemos cualquier enunciado del tipo: El supuesto número 247 en este sistema de axiomas es lógicamente imposible de demostrar y llamémoslo “enunciado A”. Entonces, Gödel simplemente demostró la siguiente propiedad asombrosa de cualquier sistema de axiomas: Si se puede probar el enunciado A; entonces también se puede probar el enunciado que no es A.
En otras palabras, si es posible probar la validez del enunciado “el supuesto 247 no es demostrable ”; entonces es posible probar la validez del enunciado “el supuesto 247 es demostrable ”. Es decir, volviendo a la formulación del segundo problema de Hilbert; si el sistema de axiomas es completo (es decir, se puede probar cualquier enunciado), entonces es contradictorio. La única forma de salir de esta situación es aceptar un sistema incompleto de axiomas. Es decir, tenemos que soportar el hecho de que, en el contexto de cualquier sistema lógico, tendremos enunciados «tipo A» que son deliberadamente verdaderos o falsos; y podemos juzgar su verdad solo fuera del marco de los axiomas que han adoptado.
Si no existen tales declaraciones, entonces nuestros axiomas son contradictorios, y dentro de su marco, inevitablemente habrá formulaciones que puedan ser probadas y refutadas simultáneamente. Entonces, la formulación del primero , o débil teorema de incompletitud de Gödel : «Cualquier sistema formal de axiomas contiene supuestos no resueltos». Pero Gödel no se detuvo allí, formulando y probando el segundo o fuerte teorema de incompletitud de Gödel : La completitud lógica (o incompletitud) de cualquier sistema de axiomas no se puede probar dentro del marco de este sistema. Para su prueba o refutación se requieren axiomas adicionales (fortalecimiento del sistema).
Los teoremas de Gödel son de naturaleza abstracta y no nos conciernen a nosotros, sino solo a áreas de lógica matemática sublime; pero de hecho resultó que están directamente relacionados con la estructura del cerebro humano. El matemático y físico inglés Roger Penrose (en 1931) demostró que los teoremas de Gödel pueden usarse para demostrar que existen diferencias fundamentales entre el cerebro humano y la computadora. El significado de su razonamiento es simple. La computadora actúa de forma estrictamente lógica y no es capaz de determinar si el enunciado A es verdadero o falso si va más allá de la axiomática; y tales enunciados, según el teorema de Gödel, existen inevitablemente.
Una persona, frente a una afirmación A tan irrefutable y lógicamente imposible de demostrar; siempre es capaz de determinar su verdad o falsedad, basándose en la experiencia cotidiana. Al menos en este sentido, el cerebro humano supera a la computadora, limitado por circuitos lógicos puros. El cerebro humano es capaz de comprender toda la profundidad de la verdad contenida en los teoremas de Gödel; pero el cerebro de la computadora nunca. Por tanto, el cerebro humano es cualquier cosa menos una computadora.
