LEY DE LOS COSENOS

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Antes de entrar en materia con la ley de los cosenos recordemos que es un coseno o función coseno, es un tipo de función trigonométrica en la cual Rt △ ABC es un triángulo rectángulo, ∠C = 90 ° (como se muestra en el diagrama general), el coseno de ∠A es la hipotenusa de su lado adyacente que el triángulo, es decir, cosA = b / c, que puede también puede escribirse como cosa = AC / AB. Función coseno : f (x) = cosx (x∈R).

función trigonométrica coseno

Ley de los cosenos

En la sección anterior, aprendimos cómo se puede usar la Ley de los senos para resolver triángulos oblicuos en tres situaciones diferentes (1) donde se conocían un lado y dos ángulos (SAA), (2) donde dos los ángulos y el lado incluido (ASA) eran conocidos, y (3) el caso ambiguo donde dos lados y se conocía un ángulo opuesto a uno de los lados (SSA).

Sin embargo, ¿cómo resolveríamos triángulos oblicuos donde dos lados y el ángulo incluido (SAS) o donde solo los tres lados (SSS) son conocidos? En estos dos casos, no hay suficiente información para utilizar la Ley de los senos, por lo que ahora debemos usar una combinación de la ley de los cosenos y la ley de los senos para resolver el oblicuo triángulo.

Definición de la ley de los cosenos

Si A, B y C son las medidas de los ángulos de un triángulo oblicuo, y a, b y c son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos correspondientes, luego el cuadrado de un lado del triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces el producto de los dos lados y el coseno del ángulo incluido.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Mirando las fórmulas de la Ley de los cosenos (especialmente la última) puedes ver que parece casi idéntico al Teorema de Pitágoras excepto por el producto al final. Pero que sería pasar si C es 90 °?

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
c2 = a2 + b2 – 2ab cos 90 °
c2 = a2 + b2 – 2ab (0)
c2 = a2 + b2

Si el ángulo incluido es un ángulo recto, entonces la ley de los cosenos es la misma que el teorema de pitágoras.

Aplicación de la ley de los cosenos

En este primer ejemplo, veremos cómo resolver un triángulo oblicuo donde existe el caso SAS. Para este caso aplicaremos los siguientes pasos:

  1. Usa la ley de los cosenos para encontrar el lado opuesto al ángulo dado.
  2. Usa la ley de los senos para encontrar la medida del ángulo opuesto al más corto de los dos lados dados.
  3. Usa la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo para encontrar el ángulo restante.

Ejemplo #1

Resolveremos el triángulo dado redondeando las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos a la décima más cercana.

ley de los cosenos ejemplo 1 parte 1

1)- Encontrar b:

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
b2 = (16)2 + (7)2 – 2 (16) (7) cos 95 °
b2 = 256 + 49 – 224 cos 95 °
b2 ≈ 305 + 19,5
b2 ≈ 324,5
b ≈ 18.0 pies

2)-Encuentra ∠C el ángulo opuesto al lado más corto conocido:

ley de los cosenos ejemplo 1 parte 2

3)-Encontrar el ∠A:

∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 95° + 67.2° ≈ 180°
∠A ≈ 180° – 162.2°
∠A ≈ 17.8°

En el siguiente ejemplo veremos cómo resolver un triángulo oblicuo donde existe el caso SSS. Para este caso aplicaremos los siguientes pasos:

  1. Usa la ley de los cosenos para hallar la medida del ángulo opuesto al lado más largo.
  2. Usa la ley de los senos para hallar la medida de uno de los otros dos ángulos.
  3. Usa la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo para encontrar el ángulo restante.

Ejemplo #2

Resolveremos el triángulo dado redondeando las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos a la décima más cercana.

ley de los cosenos ejemplo 2 parte 1

1)-Encontrar ∠C, el ángulo opuesto al lado más largo:

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
(41)2 = (23)2 + (29)2 – 2 (23) (29) cos C
1681 = 529 + 841-1334 cos C
1334 cos C = 1370 – 1681
1334 cos C = – 311
cos C ≈ -0,2331
C ≈ 103,5 °

2)-Encontrar ∠A:

ley de los cosenos ejemplo 2 parte 2

3)-Encontrando ∠B :

∠A + ∠B + ∠C = 180°
33.1° + ∠B + 103.5° ≈ 180°
∠B ≈ 180° – 136.6°
∠B ≈ 43.4°