¿Qué son los Conjuntos de números?

Entre los conjuntos más comunes que aparecen en matemáticas se encuentran los conjuntos de números.
Hay muchos tipos diferentes de números. El conocimiento sobre qué son los números es necesario para resolver muchos problemas.

Los primeros números que la gente comenzó a usar en tiempos prehistóricos son los números naturales, es decir, enteros y positivos: 1, 2, 3, 4, …. así sucesivamente. A continuación se muestra una lista de los que son más importante para este curso.

Conjunto de Números Naturales

Los conjuntos generalmente se indican en letras mayúsculas. Podemos representar convencionalmente el conjunto de números naturales de esta manera:

Los números naturales son números que se utilizan para contar cosas. Los números naturales se pueden utilizar como números. El número natural más pequeño es uno. Los números 21, 249, 30988 son naturales. Juntos forman el conjunto de números naturales, denotados por la letra N:

N = {1, 2, 3 ,4, …}

¿Qué es una multitud? Este es uno de los conceptos primarios de las matemáticas, es decir, los que subyacen al sistema lógico y ya no se definen a través de otros conceptos. Intuitivamente, entendemos que un conjunto es una colección o colección de elementos unidos por alguna característica común.

Conjunto de Números Enteros

Obviamente, el conjunto de números enteros incluye muchos números naturales:

Pero los números no solo son naturales. Los indios inventaron el número cero y los números negativos. Ahora nos son familiares, pero una vez que los europeos, los antiguos griegos y romanos, lo hicieron sin cero durante mucho tiempo. 

Es difícil para nosotros imaginarnos esto ahora. Los números naturales, los enteros negativos y el cero juntos forman el conjunto de enteros, que se denota por Z:

Z = {0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, …}

Por ejemplo, al obtener una serie de soluciones en una ecuación trigonométrica, escribimos: n ∈ Z, lo que significa que n es un número entero.

Conjunto de Números Racionales

Recuerde que una fracción es una parte, una fracción, una expresión de la forma p/q(donde p es un número entero yq es un natural). Por ejemplo, 1/3 esto es «una parte de tres», 0,25 son veinticinco centésimas. Las fracciones decimales también se pueden escribir como p/q. Ej 0.25 = 25/100 = 1/4. 

Y si de repente olvidó cómo convertir una fracción decimal en una fracción ordinaria, cómo sumar y multiplicar fracciones, o cómo reducirlas, ¡contáctenos urgentemente para obtener un consejo! Sin estas sencillas habilidades, será extremadamente difícil prepararse para el examen. Los números enteros (positivos y negativos) también se pueden escribir como p/q. Por ejemplo, como una fracción con denominador 1:

Por lo tanto, los números enteros son un caso especial de fracciones. Los números que se pueden escribir como fracciones p/q se llaman números racionales . El conjunto de números racionales se denota con Q. Está claro que incluye el conjunto de números enteros.

De acuerdo, pero ¿se puede escribir cualquier número como fracción p/q? En otras palabras, ¿son todos los números racionales?Durante mucho tiempo, en la antigüedad, se creía que cualquier número se podía escribir como una fracción con un numerador y un denominador. 

El hecho es que para los antiguos griegos, los números y sus proporciones eran casi sagrados. Los pitagóricos decían: «Los números gobiernan el mundo». Creían que todos los principios básicos del universo pueden expresarse en el lenguaje de las matemáticas, que las proporciones de los números expresan la armonía, la ley y el orden de la naturaleza, ante lo cual incluso los dioses olímpicos inclinan la cabeza. 

El arte griego, especialmente la arquitectura, obedecía las reglas, los cánones. Los griegos establecieron exactamente cuáles deberían ser las proporciones en arquitectura, por ejemplo, la relación entre el diámetro de una columna y su longitud, para que el edificio sea armonioso. Y todas estas proporciones eran proporciones de números enteros.

Sin embargo, se delineó una brecha desafortunada en el esbelto y armonioso sistema de proporciones divinas. ¡Resultó que la relación entre la diagonal de un cuadrado y su lado no se expresa como una relación de números enteros! En otras palabras, si dibujamos un cuadrado de lado 1, su diagonal no se expresa en ninguna fracción de la forma p/q.

Conjunto de los Números Reales

Según el teorema de Pitágoras, la diagonal de dicho cuadrado es igual , es decir, un número positivo, cuyo cuadrado es igual a dos. Se puede demostrar que este número no es racional. Pero los propios pitagóricos no fueron capaces de aceptar inmediatamente el hecho de que  es imposible escribir en la forma p/q; después de todo, ¡esto asestó un golpe a todo su sistema filosófico!

El descubrimiento se mantuvo en secreto durante mucho tiempo, hasta que finalmente el alumno de Pitágoras Hippasus lo divulgó. Por ello, Hippasus fue expulsado de la escuela de Pitágoras y pronto murió en un naufragio, en el que los contemporáneos vieron la indudable retribución de los dioses. Y los números que no se pueden escribir en la forma p/q, como , se llamaron irracionales, es decir, irrazonables, incorrectos.

¡Pero los números irracionales son tan buenos como los racionales! De ninguna manera se limitan a expresiones como o . También incluyen:

• número : la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro;
• el número e, que lleva el nombre de Euler (hablaremos de este número más adelante);
• el número φ que establece la proporción áurea es el asombroso número de Fibonacci alrededor del cual se construye toda la trama detectivesca de la película «El código Da Vinci»;
• números como log₂5, sin23°
• un número infinito de otros números.

Repitamos una vez más cuál es la diferencia entre números racionales e irracionales.

Número racional puede ser representado como una fracción p/q- por ejemplo 1/3, 7/11. Y si dividimos 7 entre 11 en una columna, encontramos un patrón interesante:

7:11 = 0,636363636363 …

Vemos que los números se repiten, es decir, la fracción es periódica. Por lo tanto, cualquier número racional se puede escribir como una fracción decimal: periódica finita o infinita.

Pero los  números no terminan en el número y no se observa la frecuencia de su seguimiento. Los números irracionales son fracciones infinitas no periódicas.

Juntos, ambos conjuntos, números racionales e irracionales, forman un conjunto de números reales (o reales), que se denota por R (de la palabra real).