Un encuentro con la paradoja de Banach-Tarski
Imagina que tienes una bola de chocolate, pequeña y redonda. Ahora, ¿qué dirías si te dijese que hay una forma de ‘desconstruir’ esa bola y, utilizando sólo los trozos que resultan de esa desconstrucción, construir dos bolas del tamaño original? A primera vista, podría parecer un milagro, una violación de las leyes de conservación de la masa y el sentido común, pero, de hecho, es matemática. Esta idea es el corazón de la paradoja de Banach-Tarski.
El desconcertante mundo de lo infinito
Desde que el matemático alemán Georg Cantor presentó por primera vez sus teorías sobre los conjuntos infinitos a finales del siglo XIX, los matemáticos han tenido una nueva y extraña herramienta con la que lidiar: el infinito. Uno de los resultados más extraños surgidos de este estudio es el teorema de Banach-Tarski, una auténtica mente revolucionaria.
Pero, ¿qué es la paradoja de Banach-Tarski?
En términos simples, es un resultado que demuestra que es posible dividir una bola en un número finito de piezas no solapadas, las cuales pueden ser reorganizadas para formar dos bolas idénticas al original. Para aquellos de nosotros acostumbrados a la matemática finita, esto suena a locura, pero es exactamente lo que el teorema demuestra.
¿Cómo funciona la paradoja de Banach-Tarski?
La paradoja es un resultado del estudio del infinito – específicamente, infinitos conjuntos de puntos en un espacio tridimensional. Banach y Tarski demostraron que es posible dividir una esfera en varios conjuntos, cada uno de los cuales contiene un número infinito de puntos, y luego reorganizarlos para formar dos esferas idénticas a la principal. Esto se puede hacer sin estirar los conjuntos en absoluto, sólo los estamos reorganizando.
¿Por qué esto suena tan contrario a la intuición?
Pensamos en un objeto en función de su masa o su volumen: si divides un objeto en trozos más pequeños y luego tratas de recomponer el objeto original, acabarías con algo más pequeño. Pero en la paradoja de Banach-Tarski, estamos dividiendo el objeto en conjuntos de puntos y luego reorganizándolos. En realidad, no hay ‘masa’ o ‘volumen’ en estos conjuntos de puntos, así que cuando los reorganizas, puedes terminar con algo que parece tener más volumen que el original.
¿Cubre la paradoja de Banach-Tarski todos los objetos?
Importante aclarar que la paradoja de Banach-Tarski solo se aplica a ciertos objetos y bajo ciertas condiciones. Por ejemplo, solo se aplica a objetos en tres dimensiones o más y solo funciona con objetos que se pueden dividir en un número infinito de conjuntos de puntos. En otras palabras, no puedes tomar una pizza, aplicar la paradoja de Banach-Tarski, y terminar con dos pizzas.
¿Por qué es la paradoja de Banach-Tarski importante?
Las implicaciones de la paradoja de Banach-Tarski son enormes para nuestra comprensión de la geometría y el espacio. Nos obliga a reconsiderar nuestras nociones de tamaño y cantidad, y nos desafía a explorar mundos más allá de los límites de nuestra intuición. Aunque no tenga aplicaciones directas en la vida cotidiana, nos da una ventana a la asombrosa y a veces extraña belleza de las matemáticas.
Reflexiones finales
El mundo de las matemáticas puede ser desconcertante, pero esa es una de las cosas que lo hace tan fascinante. La paradoja de Banach-Tarski parece desafiar el sentido común, pero es un recordatorio de que el sentido común puede tener sus límites, especialmente cuando se enfrenta a lo infinito. Recordemos que, después de todo, como decía el matemático británico G. H. Hardy, «la belleza de las matemáticas no radica en su utilidad práctica, sino en su intrínseca belleza y en el placer que proporciona su mera contemplación».