¿Te has preguntado alguna vez cómo predice un científico los patrones climáticos, o cómo un ingeniero diseña un avión para que vuele de manera óptima y segura? ¿Alguna vez has entrado en una piscina y te has preguntado cómo se mueven las olas que generas al saltar? Todo esto tiene una respuesta común: las ecuaciones de Navier-Stokes.
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
Llevan el nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes, dos eminentes científicos del siglo XIX. Estas ecuaciones son las que rigen la dinámica de los fluidos, tanto líquidos como gases. Permiten calcular y entender cómo se mueve un fluido en cualquier situación, desde el flujo de aire sobre el ala de un avión hasta las corrientes oceánicas.
Pero antes de sumergirnos en lo que exactamente implican estas ecuaciones, hagamos un viaje atrás en el tiempo a los días de Newton. Seguro que todos recordamos la Ley de Newton, la famosa f=ma (fuerza es igual a masa por aceleración). Lo que Navier y Stokes hicieron fue tomar estas ideas básicas de la física, e intentar aplicarlas a algo muchísimo más complejo: el flujo de un fluido.
Las ecuaciones de conservación: el primer paso para entender las ecuaciones de Navier-Stokes
Para llegar a las ecuaciones de Navier-Stokes, primero debemos entender algunas leyes fundamentales de la física, conocidas como ecuaciones de conservación. Estas se refieren a la conservación de tres cosas fundamentales en cualquier proceso físico: la masa, la energía y la cantidad de movimiento.
- Conservación de la Masa:: Esta ley nos dice que en cualquier proceso físico, la masa no se crea ni se destruye. Es por eso que se dice que la masa se conserva.
- Conservación de la Energía:: Similar a la conservación de la masa, esta ley nos dice que la energía total en cualquier proceso físico se mantiene constante.
- Conservación de la Cantidad de Movimiento:: Esta ley nos dice que la cantidad total de movimiento en un sistema se mantiene constante si no actúan fuerzas externas.
¿Cómo se aplican estas leyes a los fluidos?
Ahora, si tomamos estas leyes de conservación y las aplicamos a los fluidos, obtenemos lo que se conoce como las ecuaciones de Euler, que son la base para las ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones de Euler son útiles, pero no capturan una parte muy importante de la física de los fluidos: la viscosidad. ¿Sabes esa sensación cuando intentas moverte en miel o en un líquido espeso? Eso es viscosidad, esencialmente una medida de cuánto se ‘resiste’ un fluido a fluir. Las ecuaciones de Navier-Stokes van un paso más allá y también tienen en cuenta esta importantísima propiedad de los fluidos.
Las ecuaciones de Navier-Stokes: una visión detallada
Ahora que entendemos las bases, estamos listos para sumergirnos en las propias ecuaciones de Navier-Stokes. No te preocupes, no nos vamos a sumergir en la matemática detallada necesaria para derivar estas ecuaciones. En lugar de eso, vamos a discutir cómo funcionan de una manera conceptual para ayudarte a obtener una vista de pájaro de lo que realmente significan.
Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen cómo la velocidad de un fluido cambia con el tiempo y el espacio. Aseguran que se cumplan las leyes de conservación mencionadas anteriormente al describir cómo se mueven los fluidos. Tomar en cuenta la viscosidad permite que estas ecuaciones predigan con precisión observaciones reales del flujo de fluidos en muchas situaciones. Esto las vuelve valiosas para innumerables aplicaciones en física e ingeniería.
¿Por qué son tan importantes las ecuaciones de Navier-Stokes?
A menudo se dice que las ecuaciones de Navier-Stokes son las «ecuaciones madre» de la dinámica de fluidos. Pero, ¿por qué son tan importantes?
Un mundo de aplicaciones: Estas ecuaciones son esenciales en muchos campos, desde la meteorología hasta la ingeniería aeroespacial. Son las herramientas con las que los científicos entienden los patrones del clima, los ingenieros diseñan alas de aviones, los biólogos comprenden cómo fluyen los fluidos dentro de nuestros cuerpos, y mucho más.
Un incentivo a resolver
Curiosamente, a pesar de ser tan fundamentales en tantos campos, existe una cuestión que aún no ha sido resuelta: demostrar si siempre existe una solución para estas ecuaciones y si esa solución es suave, es decir, sin interrupciones bruscas. Este es en realidad uno de los siete Problemas del Milenio, para los que el Instituto Clay de Matemáticas ofrece un premio de un millón de dólares a quien logre demostrarlo o refutarlo. ¿Quién sabe? Tal vez la próxima gran revolución en la dinámica de fluidos esté a la vuelta de la esquina.
Conclusiones
Entender las ecuaciones de Navier-Stokes puede ser un desafío, después de todo, están en el núcleo de una de las ramas más complejas de la física. Sin embargo, su comprensión es esencial para entender y modelar el comportamiento de los fluidos, permitiendo avances significativos en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería. Aunque aún queda trabajo por hacer en términos de demostrar todas sus propiedades, no hay ninguna duda de que su impacto en nuestro entendimiento del universo es incomparable.
Así que la próxima vez que veas un avión volar en el cielo, o notes las corrientes en un estanque, recuerda que hay un montón de matemáticas complicadas sucediendo detrás de escena, ¡todo gracias a Navier y Stokes!
Referencias
- Batchelor, G. K. (2000). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.
- Panton, Ronald L. (2013). Incompressible Flow. John Wiley & Sons.
- Feynman, Richard P. (1964) “The Feynman Lectures on Physics, Vol.II: mainly electromagnetism and matter”.